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折り紙の落書き その17  第6回JOAS創作折り紙コンテスト

今年の8/10~に、折り紙コンベンションというのがあります。

その中に、第6回JOAS創作折り紙コンテストというのがあり、私は連鶴を出す事にしました。

連鶴を出そうと思ったとき、ただ連鶴を出しても面白くないと思ったので、干支部門の蛇を連鶴で折る事にしました。

完成したものを見るとちゃんと蛇に見えるので、なかなかよくできたかと思います。

「え?これって鶴だけで出来てるの!?しかもノリ使わずに!?」

とか、

「連鶴ってこんなこともできるんだ・・・」

とか思って下されば幸いです。作品の写真はまだ載せられませんが、コンテスト後に折紙探偵団のページに記載されるので、そちらをご覧ください。


連鶴もなかなか奥が深いですよ。では。
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芳賀定理解説  vol.3

ご無沙汰しておりました。HIROです。

今回も芳賀定理の解説です。が。

重大な間違いが発覚致しました。それは!

芳賀定理の読み方です。

私は、「ほうがていり」と読んでいたんですが、どうやら「はがていり」のようです。

芳賀さん、誠に申し訳ありませんでしたm(_ _)m


気を取り直して解説です。


芳賀定理3

図-3


今回はまず、GD'の長さを求めたいと思います。

C'D'=1なので、引き算で出ますね。

芳賀数式18

書き忘れましたが、線分GEの長さをe、線分D'Eの長さをfと置きます。

このとき、

芳賀数式19
芳賀数式21
芳賀数式22
芳賀数式23

以上より、

芳賀数式24    ・・・①

①より、

芳賀数式25

よって、

芳賀数式26
芳賀数式27

ここで、検算をしてみようと思います。AG+GE+GD'=1となるはずです。

芳賀数式28
芳賀数式29
芳賀数式30
芳賀数式31
芳賀数式32

ちゃんと1になりました。

芳賀定理4

まとめると、こんな感じです。

ちなみに、線分EFは使わないので割愛しましたが、線分EFの長さは√(x^2+1)です。

正方形の辺の長さはこれで全てですが、これからも、まだ芳賀定理をやっていこうと思います。

次は、ネイピアの対数表のように、xと主な線分の長さを表にしたものを載せたいと思います。

そこからまた発展するので、この解説は長くなりそうですが、まあ、ボチボチやっていきたいと思います。

では。
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芳賀定理に関する難しめな問題

最近、忙しいんだな(´・ω・`)まあ、そんな事は置いといて。

最近、オリガミクスにはまってます。

今やっているのは、芳賀定理の拡張。

結構深い所までやってます。


そして今回は、芳賀定理で非常に難しく、かつシンプルな問題が出来たので、一応載せておこうと思います。

数学が得意で、時間がある方は是非解いてみて下さい^^


問題

芳賀問題

一辺の長さが1の正方形用紙ABCDを、点Cが線分AB上の点Pに重なるように平面上で折ったとする。

動点Pは線分AB上を自由に動き、点E,F,G,Hも点Pの位置に応じて動くものとして、

線分PGの長さが最小になる時の線分PBの長さと、その時の線分PGの長さを求めよ。




シンプルだが、これがなかなか難しい。

私が解いた時は、数学Ⅲを使わないと解けませんでした。

もっとも、意外と簡単に解けるのかもしれませんが。私は頭が固いので^^;


「俺数学得意だしwwwえ?なにこの問題www紙一回折っただけじゃんwwwテラ余裕www」

「この問題小学校の時に見たwww中学数学だけで解けるわこんなもんwww」

って人は是非解いてみて下さい。結構計算が必要なので、時間がある人はどうぞ。
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多首の鶴

今回は、多首の鶴を折ったので、その画像を載せようと思います。

首

左から、2,3,4,5首の鶴です。クラスメイトに見せたらキモい、ヤバい、すげえ、という感想と共に「折り鶴がかわいそう」という意見も寄せられました。折り鶴がかわいそうという発想はなかった・・・ww

2,3首のは前川氏の3つ首の鶴とその応用、4,5つ首のは鶴星人の基本形から折りました。

5つ首以上の物はまだ折れないので、精進していきたいと思います。



☆芳賀定理の解説について

数字が多くて読みにくくてサーセンwww

でも、「私が計算した結果ここをこうするとこうなります」とだけ書いても何かなーと思ったので、計算とか証明の経過も載せました。

全部終わったらまとめて分かりやすくするので、芳賀定理の解説の回は自己満だと思って読み飛ばしてもらって構いません^^

では。忙しいですがまた。
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芳賀定理解説  vol.2

二回目の解説となります。芳賀定理の解説です。最初に書いておきますが、数式はwordの数式エディタを使っており、背景色が白なので見づらい所などあると思いますが、ご了承ください。

今回は、三角形の相似を利用して辺の長さを求めたいと思います。

芳賀定理2

図-2


前回は、線分BF,CF,C'F の長さを求めましたが、今回は線分AG,GCの長さを求めたいと思います。

線分AGの長さを c ,線分GC'の長さを d とおいて、

まずは△BFC'と△AGC'が相似である事を示します。

芳賀数式5として、

芳賀数式6
芳賀数式7
芳賀数式8

以上より、

芳賀数式9
芳賀数式10
芳賀数式11

三角形の内角が三つとも等しいので、三角形の相似条件より、

芳賀数式12

相似な三角形は組となる辺の比が全て等しいので、

芳賀数式13

よって、

芳賀数式14 (x≠1)

真ん中の式を分かりやすくすると、

芳賀数式15

※式変形する前の式ではx≠1となってしまうので、x=1の時は後で場合分けして考える。

以上より、

芳賀数式16
芳賀数式17   ( 0≦x<1 )

☆x=1の時

x=1の時、点C'は点Aと重なり、結果として正方形の対角線で折った状態になる。

よって、

c=d=1 ( x=1のとき)

さらに、x≠1の時の式にx=1を代入してもc=d=1となるので、

芳賀数式16
芳賀数式17 ( 0≦x≦1 )


今回は分母に1-xが出てきたので、場合分けが必要になってしまいました。

ここで、x=1/2を代入してみましょう。

(2×1/2)/(1/2+1) = 1/(3/2) =2/3

ちゃんと2/3になりましたね^^

ここまではまだ中学数学レベルの数学しか使っていませんが、これから進んでいくと微分が必要になったりします。

たかが折紙でも難しいですね。では。
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芳賀定理解説  vol.1

今回は、前回紹介した芳賀定理を解説したいと思います。

芳賀定理

図-1


本来の芳賀定理は、図-1のxが1/2の時、つまり辺ABを二等分して点Cをその二等分した点に持ってきた時、

AG = 2/3

が成り立つという、正方形の一辺を三等分する時に非常に役立つ定理なんです。

今回は、点C'を任意の点という扱いにして、

BC'= x    ( 0≦x≦1 )

と定義します。当然ですが、四角形ABCDは一辺の長さが1の正方形で、点C',D' はそれぞれ、点C,Dが直線EFに対称移動した点です。

これから、線分BC'の長さをxとした時に他の辺の長さはどうなるかというのを調べていきたいと思います。


まず、辺C'Fと辺BFについて考えます。

辺C'Fの長さを a 、辺BFの長さを b と置きます。

点C'は点Cの直線EFに対する鏡像であるから、

C'F = FC

さらに、三平方の定理より、以下の式が導き出されます。

芳賀数式1

②を変形すると、

芳賀数式2

これを①に代入して計算して、

芳賀数式3

同様にaについても計算して、

芳賀数式4

このように辺BFと辺C'Fが求まりましたね^^

早速、二次関数が出てきてしまいました。xは分数なので、二乗すると面倒な数字になりそうですね・・・

ちなみに、x = 1/2 の時の線分BFの長さは3/8となります。

次からは、三角形の相似を用いて他の辺の長さを求めていきたいと思います。

私はまだまだ未熟者ですので、証明に不備等があるかと思いますが、最後まで見て頂ければ幸いです。

ではまた。
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オリガミクスについて

学問っていうのは、色々と細かい分野に分かれるもんでして。

折り紙も例外ではないんですね。

で、オリガミクスってのはそのまんま折り紙の一つの分野なんです。

origamiに、学問を意味する-icsを付けてorigamicsだとか何とか・・・

つまりは、紙(多くの場合正方形)を折って数学的な観点から折り紙をしてみようという分野なんですが。

これが、やってみるとなかなか難しい。

というのも、学校の図書館に、「折紙の数学」という海外の数学家が書いた本がありまして。

そこには正19角形までの折紙での作図方法などが載っているんです。

そこらへんになってくると、x^19 - 1 = 0 の19個の解を複素平面上に配置した時にそれが19角形になるとか訳のわからん事がどっさり書いてあるという・・・

もちろん、そこらへんの高二である私にそんな事が理解できるわけが無く。

ひとまずソフトそうな芳賀定理に着手したんです。

芳賀定理というのは、正方形の一辺を三等分する手段としてはとてもエレガントなもので、非常に有名な定理です。

また今度このブログに載せますが、今知りたい方は芳賀定理でググってみて下さい。

で、色々と計算していって、ここをこうしたらもっと便利になるんじゃないかとか試行錯誤していったら、

かなり難しい数学の公式等を使わなければならなくなったんですね。

しかも、証明しようとしても完全な証明までたどり着けず、証明モドキのような物に・・・

正方形を一回折るだけでも、分数関数や閉区間、中間値の定理や商の微分まで出てくるんですね~・・・

まあ、ある程度の所まで行ったら、このブログに載せる予定なので、ご期待下さい。



最後に。この前、正三角形の一辺を五等分する必要があり、どのように五等分するか試行錯誤していたのですが、

なんと正三角形用紙を4回折るだけで一辺を五等分出来ちゃったんですね~^^

ちなみに、一辺を3等分したい時は、3回折りで出来ます。

この方法も今度載せる予定ですが、それまでに是非、どのようにしたら一辺を5等分できるかを考えてみて下さい。

良い頭の体操になりますよ^^

では。
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