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折り紙における、任意の辺のn等分について

この前、Yahoo!知恵袋にこのような質問があったので、回答というか、補足的な回答をしてみました。



代数方程式の折紙による解法について
代数方程式の折紙による解法について

代数方程式の実根が折紙で作図できる代数方程式の範囲と、代数方程式のガロア群が可解群である代数方程式の範囲とではどちらの範囲のほうが大きいですか?

例えば、4次までの代数方程式の実根は折紙で作図でき、そのガロア群も可解です。
5次方程式は折紙で作図できる方程式と作図できない方程式があり、ガロア群も可解なのもと可解でないものがあります。

また、折紙による等分は二等分のみを認め、三等分以上の等分は認めないとします。



まあ、こんな質問だったんですが、かみ砕いて言うと、ガロア理論っていう理論があり、折紙数学っていう分野,理論があり、これらを使うと5次方程式まで解けますよと。

しかしながら、どちらの理論も解ける方程式と解けない方程式があると。

で、どちらの方が範囲が大きいですか、という訳です。

で、ガロア理論ってなんだって話なんですが、知りませんでしたので、Wikipediaによると

ガロア理論(ガロア-りろん、Galois theory)は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
ガロア理論 - Wikipedia

うん。読んでもわかんね。「ガロア理論入門!高校数学でわかる!」みたいな本読まないと分かりませんね。大学数学っぽいですし。

まあ、全体集合を5次方程式として、それそれの理論で解ける範囲の集合をベン図で表して、あとは広さを考えればいいのでは、と思います。

いやあ。難しいです。

で、私は読んでもわっかんないので、質問文の「また、折紙による等分は二等分のみを認め、三等分以上の等分は認めないとします。」に突っ込みました。



折り紙によって任意の線分のn等分が出来るのは帰納的に証明できるので、恐らく三等分以上の等分を認めたほうが良いと思われます。



できるんですよ。任意の線分のn等分。

以下に方法を載せます。

まず、折り紙数学というのは正方形用紙における数学な訳ですが、

"正方形用紙における任意の線分"で一番厄介なのが以下のような線分。

線分A

なぜこれが厄介かというと、以下のような方法が取れないからなんです。

線分B

このように、線分Bを一つの辺に持つ正方形を作図して、その正方形において芳賀定理やその他の定理(上の方法)を利用してn等分が出来ます。

しかし、線分Aにおいては紙からはみ出してしまうので、この方法が使えないんです。

そこで考案したのが、任意の三角形の一辺をn等分する方法。以下に5等分の例を示します。

三角形ABC
tria1.png

どれか一つの角が45°以下でないと線分Aに適用できないので、細長い三角形になります。一般性は失いません。

今回は、線分BCを5等分したいと思います。

まず、線分AC,ABを8等分し、5:3に内分する点D,Eを取ります。

tria2.png

さらに、線分AB,BCを8等分し、それぞれの点を結びます。

tria3.png

今引いた線と線分EDの交点と、点Aを直線で結びます。

tria4.png

見にくいので、8等分した線分を全て消します。

tria5.png

これで線分CBの5等分が出来ました。以上の操作は、折り紙でも可能です。

証明は、長くなりそうなのでまた今度という事にします。三角形の相似を使えば中学数学でも出来そうです。

線分のn等分がしたい時は、n<2^rとなるような2^rを見つけ、今回8等分した時に2^r等分して、点Aからn個目にある点同士を結んで線分EDを作ればn等分が可能です。

さらに、線分Aにおいてこの方法を取るとするならば、

線分A2

このような三角形において同様の操作を行えばn等分が可能です。


回答にある"帰納的に証明"とは、2^rを極限に飛ばしてから、

2^r>nとなるn等分が出来る⇒nは任意の整数

これを導き出すのが帰納的かなぁと思い、帰納的と書きました。逆に混乱させてしまったようです。


私は折紙数学に詳しいとはお世辞にも言えませんが、以上の操作は正方形の辺のn等分より使える状況が多いので、かなり優れている操作であると思います。

以前、正三角形の辺の1/5の点を折りだす時の最低折り数は4だといった事を書きましたが、→これ

これは、三角形の重心の性質を使って以上の操作をショートカットすれば可能です。



・・・なんか、先に誰かが考えてそうな方法ですね。一応自分で考えたんですが、シェルピンスキーガスケットの創作者さんとかもう知ってそうです。

まあでも、オリガミクスや正三角形用紙の折り紙においては非常に使いやすい操作だと思うので、是非是非使ってみてください。

それでは。
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「神谷哲史作品集」より、「シロナガスクジラ」

友人から、誕生日プレゼントに折り紙を頼まれる事がよくあります。

エンシェントドラゴンが2、3体、バイオリン奏者が2体、ウィザードが1体、ディバインドラゴンが1体・・・etc...

そして今回は神谷哲史氏創作の「シロナガスクジラ」を折りました。

↓写真
シロナガス1シロナガス2
シロナガス3シロナガス4
60cm四方民芸紙

中に新聞紙を丸めて入れて、背中を糊付けしました。かなり丈夫です。

この作品の90工程のうちほとんどが立体的な折りなので、折るのがかなり難しかったです。

個人的にはもう少しそれらしくなるかなと思いました。頭部が少し芸がない感じがします。

ただ、詰め物をしているので投げても(おそらく)大丈夫なほど丈夫です。しかも軽いので、吊るして飾る事も出来ます。

尻尾の所を右手で持って、左手の親指を立てるとb獲ったどーなポーズもできます。

ここまで立体的な作品だと、色々できますね。


この和紙は、本来スカイツリー用に買ったものですが、まだ設計段階だし使っていっか、という事で使ってしまいました。

スカイツリーの設計は、今鉄骨のパターンをどう分けて効率化するかで止まっています。

恐らく数千羽レベルの作品になるので、千切れたり心が折れたりしないように無駄をなくすことが重要です。

あと、ある程度の頑丈さが無いとすぐに倒れてしまうので、そこも注意が必要となるようです。

さすがに鉄骨一本一本ともなると難しいですね。


話がそれてしまいましたが、今回は「シロナガスクジラ」でした。それでは
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折り紙の落書き その23  例会行くよ

例会ってあるじゃないですか。

知ってる人は知っている。知らない人はこれ見たら分かってくれるはず。

で、これの東京友の会例会ってのが毎月第一土曜にあるんですが

俺の学校、週6日なんだわ(´・ω・`)

土曜もあるんだよね。学校。

部活もあるんだよね。

という事で、大学までいけねえじゃん!ってなってたわけですが。

この前JOAS賞を頂きまして。それの授賞式を例会でやるって話になりまして。

じゃあ部活休んで例会行こう、ってなったわけです。

という事で、人生初の例会行ってきます。

友の会のブログ見てるとなんか皆で作品持ち寄ってるみたいだから連鶴で何か折ろう。

なんか、かっこいいクリスタルな楯を貰えるらしいので今からwktkしてます。

まあこんな感じで10/6に例会に行くので、よろしくお願いします。



あと、連鶴ですが、この前なんか可愛いやつ折るって言ってましたが、結局ロブスター折る事にしました。

可愛さの欠片も無いけどね。設計なう。アイデアが結構出てるなう。

それと、来年のおりがみはうす賞に向けてスカイツリーの連鶴設計してます。

今年チャレンジしてみようと思ったんですが、時間ないのと資料不足と技量不足で断念してました。

で、この前、東京スカイツリーのペーパークラフトの本買ったので、柱の長さとかを測ってリアルにしたいと思ってます。

コンベンションの時に、「これもう柱一本一本折らないと受賞できないんじゃね?」って誰かが言ってましたが

正直、不切正方形一枚蛇腹折りでやると確実に面倒くささが龍神を超えるし、複合でやるとペーパークラフトになりそうだし。

しかぁし!連鶴で一本一本折ると、折り紙だし柱ちゃんとしてるしで完璧じゃね?的な考えで折ってます。

山口さんが「来年はキャリーオーバーで三万円です!」って言ってたので俄然やる気。


最近連鶴寄りになってきました。そろそろ連鶴に飽きて折り紙に戻るはず。ではまた。
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「連鶴による、立体のハート」の裁ち方図完成

この前、先輩に渡したりコンベンションの飾りに出したりしてた「連鶴による、立体のハート」ですが、

論文書く時に裁ち方図が必要だったので、裁ち方図書きました。

↓この前の記事
連鶴による、立体のハート

photo28.pngphoto29.png
photo30.pngphoto31.png

同じ番号同士を重ね折りしてください。

斜めの線にミスがあるので、そこは完成品の写真を見て脳内補完でお願いしますm(_ _)m

↓完成品の写真
heart6.jpg

紙のサイズは、菱形用紙が全て同じサイズで、正方形用紙のサイズが2種類あります。

(菱形用紙の長いほうの対角線) = (大きい正方形の対角線) = (小さい正方形の1辺)×2

こんな感じの比です。

まあ、具体的な多面体としては一番オーソドックスでしょう。

紙にボンドで貼っているので、壁に飾れます。

暇だったら折ってみてください。

では。
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論文、できたよ

この前まで宿題の論文を書いていましたが、この間、遂に完成しました!

↓この前の記事
論文、書いてます

論文の題名は、「連鶴設計法と、それによる立体造形について」。なんかすごそうですが、立体的なものを連鶴でどのように設計するかが書いてるという事です。

まず連鶴初心者向けに連鶴の基礎を書き、次に正多面体を全て連鶴で折り、さらにいろいろな多面体に拡張していく・・・・と言った形で書いていきました。

全46ページ。文に不安はありますが、内容はある程度充実していると思います。

↓pdfファイル
連鶴設計法と、それによる立体造形について.pdf

図はほとんどinkscapeで書きました。おそらくいくつか裁ち方図の情報が不十分な所があるのですが、完成品を明示しているので折れると思います。

結論としては、一つの頂点に辺が集まりすぎている(10本以上とか)多面体は折るのが困難であるが、その他の多面体は、枚数制限無し,用紙形の制限無しの場合に限り連鶴で作成可能である、というものでした。

もっと簡単に言うと、多面体をバラバラに分解してからそれぞれを連鶴にして、それを重ね折りしてくっつければ無理な形してなければどんな多面体でも折れんじゃね?って事です。

この論文での結論は、連鶴を更に上のレベルへ昇華させる足がかりのようなものであると私は考えます。連鶴で立体を造形するというのは今まで多くの連鶴作家さんたちが試みてきましたが、そのいずれも具体的でなく抽象的な物でした。

ほとんどの多面体を連鶴で折れるという事は、具体的な題材を連鶴で表現したいと思った時に、大まかな形なら造形可能であるという事を意味しています。

細かいところは折り紙の「仕上げ」のように細かく鶴を繋げたりして表現すればよいので、この論文に書いてある設計法は、具体的な題材を連鶴で折る時の道しるべとして使うといいと思います。



・・・うん。長かった。途中から図45とかになって訳わかんなくなってきてた。

まあ、不切正方形一枚折りにも設計学があるんだから、連鶴にあってもいいんじゃね?ってことでそれっぽーくしてみたのがこの論文です。

連鶴の世界が広がればいいなと思います。読んでみてくださいね^o^/

それでは。また。
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